"выписывать" ребёнка из квартиры вправе наниматель жилья. Если наниматель - бабушка, то ей вполне реально сделать это без согласия матери. А по общему правилу ребёнок должен быть зарегистрирован именно по месту регистрация матери или отца. В принципе, можете ко мне подойти.